SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

 

 

El problema que origina el nacimiento del álgebra lineal es la resolución ecuaciones y de sistemas de ecuaciones. De hecho, según diversos historiadores, la historia del álgebra nace en el Antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax² + bx + c = 0), así como ecuaciones indeterminadas como x² + y² = z², con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy en día.

 

Nosotros nos vamos a centrar en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, y el más simple es aquel en que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones.

 

Ya desde los textos de secundaria se proponen, casi en una especie de competencia, dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones. El primero es el método de eliminación: consiste en reemplazar el sistema dado por uno nuevo que tenga el mismo conjunto solución, pero que sea más fácil de resolver. En general este sistema nuevo se obtiene siguiendo una serie de pasos, que más adelante ya explicitaremos. La idea es aplicar el proceso una y otra vez hasta que sólo nos queda una ecuación con una incógnita, que se podrá resolver inmediatamente. No es difícil recorrer los pasos en sentido contrario y encontrar la solución de las otras incógnitas; más adelante daremos algún ejemplo. El segundo método, más complicado, introduce el concepto de determinante. Hay una fórmula exacta, llamada regla de Cramer, que nos da la solución al sistema, como la razón entre dos determinantes de orden n por n. De hecho, la fórmula más complicada que involucran los determinantes es un desastre, mientras que la eliminación es el algoritmo que se usa constantemente para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales.

Empezaremos dando los conceptos necesarios para poder ir conociendo poco a poco la teoría de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

 

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

 

Existen varios métodos:

1. Método gráfico
   
2. Método de sustitución.
   
3. Método de igualación.
   
4. Método de reducción o de eliminación (suma y resta).
   
5. Por determinantes
   

 

Las soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas son únicas, son infinitas o no existen.

• -Si la solución es única, el sistema se llama compatible determinado.
  
• -Si hay infinitas soluciones se llama compatible indeterminado.
  
• -Si no existe solución se llama incompatible.
  

 

No te apures, ahora veremos un ejemplo de cada para que te quedes tranquilo.

 

x + y = 4 2x + 2y = 7	Incompatible, porque no tiene solución. Las ecuaciones determinan 2 rectas paralelas, por lo que no tienen ningún punto en común.
x + y = 5 x – y = 1	Compatible determinado, ya que tiene una única solución. Las gráficas de las 2 ecuaciones se cortan en único punto.
x + y = 7 2x + 2y = 14	Compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Las gráficas de las 2 rectas pasan por los mismos puntos (superpuestas)