Problemas del día.

1. Jorge tiene 2/3 de lo que tiene Alicia y Mónica tiene 3/5 de lo que tiene Jorge. Si juntos tienen S/. 24800, ¿Cuánto tiene Jorge?
   

 

1. Dos jugadores se ponen a jugar con una misma cantidad de dinero; el primero pierde 400 soles y el segundo 220 soles; resultando que la cantidad que le queda al primero es la mitad de lo que le queda al segundo. ¿Con cuánto se pusieron a jugar?

Problemas del día.

• Hace un año Alejandra duplicó la edad a Lorenzo. En dos años ella tendrá 1,5 veces la edad de Lorenzo. ¿Cuántos años tienen hoy?
  

  
   

• Una señora que está participando en una caminata dice: "El número de mis compañeros es 1,5 veces el de mis compañeras" Un señor dice: "en nuestro grupo el número de mujeres es siete décimos del número de hombres." ¿Cuántas mujeres y cuantos hombres participan en la caminata

Sistema de ecuaciones

Método reducción

• Pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
  

1. Se ordena las ecuaciones de tal manera que se encuentre los semejantes en la misma columna y al mismo lado de la igualdad.
   
2. Decidimos que variable vamos a eliminar. Para que pueda eliminarse la variable escogida tienen que tener como coeficientes números opuestos, para ello a veces una de las ecuaciones debe ser multiplicada por un número que iguale el coeficiente de de la variable. En otras ocasiones debe multiplicarse a las dos ecuaciones para que las variables tengan coeficientes opuestos.
   
3. Juntamos las dos ecuaciones y se deberían de eliminar la incógnita elegida, ya que tienen coeficientes opuestos.
   
4. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior.
   
5. Para hallar la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en los pasos anteriores, en cualquiera de las ecuaciones del sistema.
   

   Recomendación: siempre buscar el más conveniente, el que se pueda hacer con más facilidad.
   

 

Ejemplo:

    
 

3x = 11 + 2y………….(a) 14 = 4x – 3y …………(b)	Ordenamos las ecuaciones En (a) restamos a ambos lados – 2y. En (b) aplicamos propiedad si a = b Þ b = a (propiedad simétrica de la igualdad
3x – 2y = 11………….(c) 4x – 3y = 14………….(d)	Podemos eliminar la x o la y. Decidimos eliminar la x. Entonces multiplicamos la ecuación (c) por 4 y la ecuación (d) por – 3
12x – 8y = 44 (e) -12x + 9y = - 42 (f)	Como ahora las x tienen valores opuestos, al juntar las ecuaciones se eliminan las que tienen variable x
12x – 8y = 44 -12x + 9y = - 42 _________________________________________________________________________________________________ y = 2	Despejamos la incógnita
y = 2	Reemplazamos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones (a, b, c, d, e, f) así conseguiremos el valor de la otra incógnita.
Reemplazando y = 2 en la ecuación (a) 3x = 11 + 2y 3x = 11 + 2 (2) 3x = 11 + 4 3x = 15 x = 5	Entonces el conjunto solución es x = 2 y = 5   (5; 2)

 

RECOMENDACIÓN: Si al resolver la primera variable te da una fracción y te es dificultoso sustituirlo en una de las ecuaciones para obtener el valor de la otra variable entonces puedes resolver la segunda variable otra vez por reducción siguiendo todo el proceso, pero eliminando la otra variable.

Sistema de ecuaciones

Método gráfico

• Pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
  
  • Representar ambas rectas en una plantilla de papel milimetrado y ver si se cortan en un punto, las coordenadas del punto de corte es la solución del sistema.
    
    • Ejemplo:
      

      x + y = 4………………(1)
      

      -2x + y = -2 (2)
      

  • Cada una de las ecuaciones las convertimos a la forma general
    

    y = mx + b
    

    
    

De (1) x + y = 4 Restamos a ambos miembros x x + y – x = 4 – x y = 4 -x

De (2) -2x + y =-2 Sumamos a ambos miembros 2x -2x + y + 2x= -2 + 2x y = -2 + 2x

Damos ahora valores a la variable x, para obtener valores de la variable y, en cada una de las ecuaciones:

Ecuación (1)			Ecuación (2)
x	y		x	y
4	0		1	0
1	3		3	4

Observemos que en las dos ecuaciones hay una pareja de puntos que satisfacen los valores de las variables para las dos ecuaciones. Al hacer la gráfica de cada una de las ecuaciones iniciales nos damos cuenta que estas rectas se cortan en un punto común (2, 2).

Este punto de corte será la solución del sistema de ecuaciones propuesto.

Es decir:

x = 2

y = 2

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

 

 

El problema que origina el nacimiento del álgebra lineal es la resolución ecuaciones y de sistemas de ecuaciones. De hecho, según diversos historiadores, la historia del álgebra nace en el Antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax² + bx + c = 0), así como ecuaciones indeterminadas como x² + y² = z², con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy en día.

 

Nosotros nos vamos a centrar en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, y el más simple es aquel en que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones.

 

Ya desde los textos de secundaria se proponen, casi en una especie de competencia, dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones. El primero es el método de eliminación: consiste en reemplazar el sistema dado por uno nuevo que tenga el mismo conjunto solución, pero que sea más fácil de resolver. En general este sistema nuevo se obtiene siguiendo una serie de pasos, que más adelante ya explicitaremos. La idea es aplicar el proceso una y otra vez hasta que sólo nos queda una ecuación con una incógnita, que se podrá resolver inmediatamente. No es difícil recorrer los pasos en sentido contrario y encontrar la solución de las otras incógnitas; más adelante daremos algún ejemplo. El segundo método, más complicado, introduce el concepto de determinante. Hay una fórmula exacta, llamada regla de Cramer, que nos da la solución al sistema, como la razón entre dos determinantes de orden n por n. De hecho, la fórmula más complicada que involucran los determinantes es un desastre, mientras que la eliminación es el algoritmo que se usa constantemente para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales.

Empezaremos dando los conceptos necesarios para poder ir conociendo poco a poco la teoría de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

 

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

 

Existen varios métodos:

1. Método gráfico
   
2. Método de sustitución.
   
3. Método de igualación.
   
4. Método de reducción o de eliminación (suma y resta).
   
5. Por determinantes
   

 

Las soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas son únicas, son infinitas o no existen.

• -Si la solución es única, el sistema se llama compatible determinado.
  
• -Si hay infinitas soluciones se llama compatible indeterminado.
  
• -Si no existe solución se llama incompatible.
  

 

No te apures, ahora veremos un ejemplo de cada para que te quedes tranquilo.

 

x + y = 4 2x + 2y = 7	Incompatible, porque no tiene solución. Las ecuaciones determinan 2 rectas paralelas, por lo que no tienen ningún punto en común.
x + y = 5 x – y = 1	Compatible determinado, ya que tiene una única solución. Las gráficas de las 2 ecuaciones se cortan en único punto.
x + y = 7 2x + 2y = 14	Compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Las gráficas de las 2 rectas pasan por los mismos puntos (superpuestas)

 

CUADRILÁTEROS SIMÉTRICOS

CUADRILÁTEROS SIMÉTRICOS

RESPECTO A UN EJE

Recordemos:

Denominaciones de un cuadrilátero

CUADRILÁTEROS CON DOS EJES DE SIMETRÍA:

RECTÁNGULO	ROMBO
Las líneas que unen los puntos medios de los lados del rectángulo son ejes de simetría del cuadrilátero	Las diagonales son ejes de simetría del cuadrilátero.

CUADRILÁTEROS CON UN SOLO EJE DE SIMETRÍA:

TRAPECIO ISÓSCELES	COMETA
La línea que une los puntos medios de los lados paralelos es el eje de simetría del cuadrilátero.	Una diagonal es el eje de simetría del cuadrilátero.

Como consecuencias de las simetrías mencionadas, se cumple las siguientes características.

Rectángulo: 1. Los cuatro ángulos miden igual. 2. Los lados opuestos miden igual. 3. Los ejes de simetría dividen cada lado por la mitad. 4. Los ejes de simetría son perpendiculares entre sí y se dividen por la mitad.	Rombo: 1. Los cuatro lados miden igual. 2. Los ángulos opuestos miden igual 3. Los ejes de simetría dividen cada ángulo por la mitad. 4. Las diagonales son perpendiculares y se dividen por la mitad.
Trapecio isósceles: 1. Hay dos pares de ángulos consecutivos que miden igual. 2. Has dos lados opuestos que miden igual. 3. El eje de simetría divide por la mitad a cada uno de los dos lados opuestos paralelos. 4. Las diagonales miden igual.	Cometa: 1. Hay dos pares de lados consecutivos que miden igual. 2. Hay dos ángulos opuestos que miden igual. 3. El eje de simetría divide por la mitad dos ángulos opuestos. 4. Las diagonales son perpendiculares entre sí.

MEDIANAS EN EL TRIÁNGULO

Mediana

La Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. Las tres medianas (transversales de gravedad) de un triángulo se cortan en el baricentro (centro de gravedad, centroide).

El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

MEDIANAS EN EL TRIANGULO

ALTURAS DE UN TRIANGULO

La altura de un triángulo, respecto de un lado, es la distancia más corta entre la recta que contiene al lado y el vértice opuesto. Equivale a un segmento perpendicular a dicho lado con un extremo en el vértice opuesto y el otro en dicho lado, o en su prolongación. La intersección de la altura y el lado opuesto se denomina «pie» de la altura.

Alturas en un triángulo acutángulo

Alturas en un triángulo obtusángulo

En la figura, las alturas respecto de sus tres lados BC, CA y AB son ha, hb y hc.

Propiedades de las alturas del triángulo

En todo triángulo:

• Al menos una de las alturas se encuentra dentro del triángulo;
  
• La altura de mayor longitud es la correspondiente a la del lado menor del triángulo;
  
• Las tres alturas se cortan en un punto, llamado Ortocentro del triángulo (H en el gráfico);
  
• El Ortocentro antes los mayas lo conocían por el nombre de "rufis" del griego "rufiospaul o rufmelae" que significa la altura de un triángulo.

BISECTRICES DE UN TRIANGULO.

RECORDEMOS:

Bisectriz

La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo.

(EQUIDISTAN SIGNIFICA QUE ESTÁN A LA MISMA DISTANCIA)

BISECTRICES EN UN TRIANGULO

Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

Incentro

El punto donde se cortan las bisectrices interiores de un triángulo se llama incentro del triángulo.

Las distancias del incentro a los lados del triángulo son iguales.

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, que es tangente a los tres lados del triángulo.

TRAZADO BISECTRIZ Y MEDIATRIZ